Matematicas Para Universitarios

¡ Integrales y lo que necesitas saber !

¿QUÉ ES UNA INTEGRACIÓN?

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumados, infinitesimalmente pequeños: una suma continúa en pocas palabras. La integral es la operación inversa de una derivada.

El calculo integral, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy comun en la ingeniería y en la ciencia. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Los principales objetivos de estudio para el cálculo integral son los siguientes:

Área de una región plana

Cambio de variable

Integrales indefinidas

Integrales definidas

Integrales impropias

Integral de línea

Integrales homogéneas

Integrales múltiples (dobles o triples)

Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales

Métodos de integración

Teorema fundamental del cálculo

Volumen de un sólido de revolucion

En este caso en específicos vamos a hablar sobre las integrales definidas.

¿QUÉ ES UNA INTEGRAL DEFINIDA?

Las integrales definidas es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una funcion f(x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al area de la porción del plano que esta limitada por la funcion, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b.

APLICABILIDAD EN LA VIDA REAL

En el campo de la Ingeniería electrónica, las integrales cumplen una función muy importante, para calcular corrientes, capacitancias, tiempos de carga y descarga de corriente, entre otras.

En la Ecología y Medio Ambiente se emplea para el conteo de organismos y cálculo de crecimiento exponencial de bacterias y especies; así como, en modelos ecológicos tales como: el cálculo de crecimiento poblacional, Ley de enfriamiento y calentamiento global del planeta.

En muchas situaciones físicas se emplea en la aproximación del impulso. En esta aproximación, se supone que una de las fuerzas que actúan sobre la partícula es muy grande pero de muy corta duración.

Se utilizan en la hidráulica, para calcular áreas y volúmenes de líquido, para calcular su fuerza, y presión.

En el área de Química se utiliza el cálculo integral para determinar los ritmos de las reacciones y el decaimiento radioactivo.

En los campos de informática & computación se utiliza en la fabricación de chips ; miniaturización de componentes internos; administración de las compuertas de los circuitos integrados; compresión y digitalización de imágenes, sonidos y vídeos; investigación sobre inteligencias artificiales.

En la ingeniería civil se utilizan las integrales para calcular estructuras y/o áreas.

Se utiliza en la administración cuando trabajan con los costos de una empresa. Al tener el costo marginal de producción de un producto, pueden obtener la formula de costo total a través de integrales.

EJERCICIOS DE INTEGRAL DEFINIDA

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1 El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\, dx=-\int_{b}^{a}f(x)\, dx$

2 Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

$\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\, dx=0$

3 Si $c$ es un punto interior del intervalo $\left [ a,b \right ]$ , la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos $\left [ a,c \right ]$ y $\left [ c,b \right ]$ .

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\, dx=\int_{a}^{c}f(x)\, dx+\int_{c}^{b}f(x)\, dx$

4 La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

$\displaystyle \int_{a}^{b}\left [ f(x)+g(x) \right ]\, dx=\int_{a}^{b}f(x)\, dx+\int_{a}^{b}g(x)\, dx$

5 La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

$\displaystyle \int_{a}^{b}k\cdot f(x)=k\cdot \int_{a}^{b}f(x)\, dx$

¿QUÉ ES LA REGLA DE BARROW?

La regla de Barrow dice que la integral definida de una funcion continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una funcion primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicha intervalo.

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=\left [G(x) \right ]_{a}^{b}=G(b)-G(a)$

CARACTERÍSTICAS DE LA REGLA DE BARROW

GRAFICAS DE LA REGLA DE BARROW

La Regla de Barrow permite el cálculo de integrales definidas a partir de alguna de sus primitivas. La aplicación más conocida es el cálculo del área delimitada por la gráfica de una (o varias) funciones:

Se desea calcular el área entre la gráfica de f y el eje de las abscisas (OX) en el intervalo [a,b]. La representación del área es:

Issac Barrow (1630-1677): biografía, interpretación geométrica de la integral definida y demostración de la Regla de Barrow y del Teorema fundamental del cálculo

Dividimos el intervalo [a, b] en 3 sub-intervalos de la misma longitud Δ₃:

Nótese que la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área que buscamos, pero es una aproximación. La base de cada rectángulo es Δ₃ y su altura es f(x_k). Por tanto, la suma de las áreas es:

\underline{S} = \sum_{0 \leq k \leq 2} f (x_{k}) \cdot Δ_{3}

Si realizamos una partición más fina, es decir, con más sub-intervalos y con una longitud menor, Δ_n, entonces la aproximación se acerca más al valor real:

Por tanto, si la longitud de los sub-intervalos, Δ_n, tiende a 0, entonces la suma de las áreas de los rectángulos coincide con el área que buscamos.

La integral de f definida en el intervalo [a, b] es precisamente (definición no formal) dicha suma:

\int_{a}^{b} f (s) d s = lim_{| | Δ_{n} | | \to 0} \sum_{0 \leq i \leq n - 1} f (s_{i}) \cdot Δ_{n}

La Regla de Barrow establece que la integral definida anterior es

$\int_{a}^{b} f (s) d s = F (b) - F (a)$

siendo F una primitiva de f, es decir,

F^{'} (x) = f (x), \forall x \in [a, b]

APLICACIONES EN LA VIDA REAL

1. Para la construcción de una casa en cuanto a la cantidad de materiales.

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2. Para calcular la distancia de un lugar a otro.

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3. Cálculos de corrientes.

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4. Cálculos de costos y ventas.

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5. Alcance de un disparo.

6. Calculo de estructuras y áreas.

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7. Cantidad de una producción.

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8. Para el conteo de los organismos en cuanto a la ecología.

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9. Determinación de ritmos en una reacción química.

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10. Para el cálculo de expansión o decaimiento de un radiactivo.

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11. Calculo de enfriamiento o calentamiento del planeta.

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12. Administración de recursos.

13. Calculo de volumen.

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14. Expansión de servicios.

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EJERCICIOS DE LA REGLA DE BARROW

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\cfrac{dx}{(x-1)^{3}}$

$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\cfrac{dx}{(x-1)^{3}}=\left [ \cfrac{-1}{2(x-1)^{2}} \right ]_{-2}^{-1}=-\cfrac{1}{2}\left [ \cfrac{1}{(-2)^{2}}-\cfrac{1}{(-3)^{2}} \right ]=-\cfrac{5}{72}$

Ejercicio 4

$\displaystyle \int_{0}^{3}\cfrac{dx}{\sqrt{1+x}}$

$\displaystyle \int_{0}^{3}\cfrac{dx}{\sqrt{1+x}}=\left [ 2\sqrt{1-x}\, \right ]_{0}^{3}=2(2-1)=2$

Ejercicio 5

$\displaystyle \int_{0}^{4}x\sqrt{x^{2}+9}\, dx$ $\displaystyle \int_{0}^{4}x\sqrt{x^{2}+9}\, dx=\cfrac{1}{2}\int_{0}^{4}2x(x^{2}+9)^{\frac{1}{2}}\, dx =\left [ \cfrac{1}{3}(x^{2}+9)^{\frac{3}{2}} \right ]_{0}^{4}$

$=\cfrac{1}{3}\left [ (25)^{\frac{3}{2}}-9^{\frac{3}{2}} \right ]=\cfrac{98}{3}$

Ejercicio 6

$\displaystyle \int_{2}^{3}\cfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\, dx$

$\displaystyle \int_{2}^{3}\cfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\, dx=\cfrac{1}{2}\int_{2}^{3}2x(x^{2}-1)^{-\frac{1}{2}}\, dx=\left [ \sqrt{x^{2}-1} \right ]_{2}^{3}=\sqrt{8}-\sqrt{3}$

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona un método abreviado para calcular integrales definidas, sin necesidad de tener que calcular los límites de las sumas de Riemann.

Conceptualmente, dicho teorema unifica los estudios de la derivación e integración, mostrando que ambos procesos son mutuamente inversos.

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la integral {F(x)} de la función continua {f(x)} es la propia {f(x)}.

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.

Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

Sea f una función integrable en [a,b], y definimos una nueva función F en [a,b] por:

Si c pertecece a [a,b] y f es continua en c, entonces F es diferenciable en c, y:

Una demostración visual bien conocida asume que la función f es continua en un entorno del punto (esta es una condición más débil, la hipótesis del teorema es más fuerte. Para una demostración analítica más

rigurosa de este teorema hay que leer un buen libro de Cálculo).

Si c es un punto de (a,b), mirando la imagen podemos aceptar que:

Características

Este Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando una integral indefinida. Incluso funciones no diferenciables con esquinas, tales como el valor absoluto tienen una antiderivada.

Muchas veces el problema es cómo encontrar una antiderivada de una función, es decir, dada una función f(x), encontrar una función F(x) tal que F'(x) = f(x).

Un caso importante es cuando queremos integrar una función que tiene una antiderivada (o primitiva). Es decir, conocemos una función f y queremos integrar f' (o tenemos que integrar f' y podemos encontrar una primitiva f). En este caso, podemos ver la función que queremos integrar como una tasa de variación y la integral como un acumulador de este cambio (un ejemplo: la integral de la velocidad es la distancia recorrida).

Ejercicios

El teorema fundamental del cálculo da la relación inversa precisa entre la derivada y la integral, Newton y Leibniz explotaron esta relación y la usaron para desarrollar el cálculo en un método matemático sistemático. El descubrimiento de esta asombrosa relación constituye uno de los logros matemáticos más importantes de la historia mundial.

TEOREMA DE LA MEDIA O DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

El teorema del valor medio para integrales o teorema de la media dice que:

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

La hipótesis de este teorema es que contamos con una función F que es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b).

La tesis del teorema es que, en tal caso, la derivada coincide con la pendiente media mF de F en [a,b] (tasa de variación media) en algún punto del intervalo (a,b).

El teorema de valor medio nos garantiza que, en esas condiciones, debe existir al menos un cierto valor x del intervalo (a,b) para el cual F'(x) = mF es decir, F'(x) = (F(b)-F(a))/(b-a). Pero solo nos asegura que tiene que haber ese valor, no nos dice nada sobre cómo encontrarlo.

Observa que como el intervalo es cerrado, tiene sentido hablar tanto de F(a) como de F(b). Veremos que este teorema es a la vez una generalización y una consecuencia del teorema de Rolle.

El teorema del valor medio es un resultado fuerte. Gracias a él podemos obtener información de la función F a partir de su función derivada F'. Por ejemplo, es fácil demostrar, usando este teorema, que si F'(x) es positiva en un intervalo, entonces F ha de ser creciente en ese intervalo.

CARACTERÍSTICAS

Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado [a, b].

En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir

Este teorema lo formuló Lagrange.

El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras, f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.

El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es

El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómo determinar c. Solamente garantiza la existencia de algún número c en el intervalo. Permite una interpretación interesante para el caso en que f es no negativa en [a, b]. En este caso es el área bajo la gráfica de f entre a y b. El teorema asegura que existe un valor c del intervalo al que está asociado f(c) que corresponde a la altura del rectángulo de longitud de la base (b - a) y su área coincide con la de la región.

Ejercicios

Aplicación en la vida real

Un camionero viaja a 163 millas en una carretera de peaje con un límite de velocidad de 70 millas por hora. El camionero completa el viaje de 163 millas en 2 horas. Al final de la carretera de peaje, el camionero recibe una multa por exceso de velocidad. ¿Por qué sucede esto?

Bien, para resolver este problema se puede emplear el término de valor medio. Dado que la posición del camión es continua en el intervalo cerrado, diferenciable en el intervalo abierto, no hubo una discontinuidad en el gráfico de posición. Que es el camión que pasó por cada punto en el camino de la cabina de peaje a la cabina del otro peaje.

Sin haber agujeros de gusanos ni agujeros negros. También hay una cúspide en el gráfico de posición que no sería divertido viajando a 70 millas por hora. Aplicando el término de valor medio, se establece que en un punto de la velocidad promedio del caminero. Que debe ser igual a la velocidad instantánea del camión. El resultado quedaría de la siguiente manera:

Velocidad promedio = distancia total (desplazamiento) / tiempo total

163 millas / 2 horas = 81.5 mph

Luego, al menos una vez en el tiempo en la carretera de peaje, el camionero iba a 81.5 millas por hora, muy por encima del límite de velocidad. Así es como se puede aplicar el valor medio para conseguir que multen a un camionero.

FUNCIÓN INTEGRAL

Sea f(t) una función continua en el intervalo .

A partir de esta función se define la función integral:

que depende del límite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.

Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la

curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b]

Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible definir una función matemática de la forma:

donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.

Interpretación geométrica de la función integral o función área.

Ejercicios

1- Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = lnx, y = 1 y los ejes de coordenadas.

2- Calcula el área del recinto limitado por la curva de ecuación f(x) = 2√x y la recta y= x

3- Calcular el área del recinto limitado por la parábola f(x) = x2- 4x y la recta g(x) = 2x - 5.

4- Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x)=x(x−2) y las rectas verticales x^2=1

Solución:

Las rectas verticales son

x=−1, x=1

Como tenemos que integrar la función f, es mejor desarrollar el producto:

f(x)=x(x−2)= x^2−2x

Representamos la gráfica y las rectas para ver si el eje horizontal divide la región:

Como el eje OX divide la región en dos (una sobre el eje y otra bajo éste), tenemos que calcular dos integrales. El resultado de la integral correspondiente al área que está por debajo será negativo, por lo que tenemos que cambiar el signo (o escribir el valor absoluto).

Los intervalos de x de las regiones son:

[−1,0], [0,1]

Nota: el extremo 0 se calcula resolviendo la ecuación

f(x)=0

Estos intervalos son los extremos de las integrales.

La integral indefinida de f es

∫f(x)dx= ∫(x^2−2x)dx

=∫x^2dx − ∫2xdx= x^3−x2

Calculamos las áreas calculando las integrales definidas mediante la regla de Barrow:

El área es la suma del valor absoluto de los resultados obtenidos:

Por tanto, el área de la región es 2.

5- Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de las parábolas

f(x)=x^2

g(x)= −x^2+2

Solución:

Representamos las gráficas de las funciones. Queremos calcular el área de la región azul:

Por tanto, el área total de la región es el doble, es decir, 8/3.

6- Calcular el área encerrada entre las gráficas de las siguientes funciones (valor absoluto y parábola):

f(x) = |x^2−3|

g(x) = 2x^2+1

Solución:

Es más cómodo escribir f como una función definida a trozos en lugar de un valor absoluto. Pero para ello necesitamos saber cuándo cambia el signo del argumento del valor absoluto:

Buscamos los puntos de intersección de las funciones

Como la región está en el semiplano superior, el área viene dada por la integral definida de

f - g (superior menos inferior). Usaremos también que existe simetría respecto del eje de las ordenadas:

Por tanto, el área total es:

8√6

Aplicación

En la vida cotidiana la integración tiene muchas aplicaciones, podemos calcular áreas, volúmenes y longitudes, entre ellas tenemos:

-Área entre dos curvas

-Volúmenes mediante cascarones cilíndricos.

-Longitud de un arco

-Área de una superficie de revolución

-Aplicación a la física y a la química

-Aplicación a la economía y biología

La aplicación del cálculo integral en la vida cotidiana es muy común aunque no lo parezca:

Ejemplos:

Para la construcción de una casa en cuanto a la cantidad de materiales.

Para calcular la distancia de un lugar a otro.
Cálculos de corrientes.
Cálculos de costos y ventas.
Alcance de un disparo.
Para el cálculo de un circuito.
Calculo de estructuras y áreas.
Cantidad de una producción.
Para el conteo de los organismos en cuanto a la ecología.
Determinación de ritmos en una reacción química.
Para el cálculo de expansión o decaimiento de un radiactivo.
Calculo de enfriamiento o calentamiento del planeta.
Administración de recursos.
Calculo de volumen.
Expansión de servicios.

SITIOS DE INTERÉS:

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/integral-definida.html

https://matematicasies.com/Integral-Definida-Regla-de-Barrow

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/problemas-resueltos-de-integrales.html#tema_1

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/teorema-de-la-media.html